平移、旋转和对称是“空间与图形”领域中“图形与变换”部分的重要学习内容。学习这些内容，有利于学生从运动变化的角度加深对平面图形的认识，发展几何直觉，增进对数学的理解；有利于学生进一步积累“空间与图形”的学习经验，更充分地感受观察、操作、实验、探索、合情推理等活动本身的独特价值；也有利于增强学生对数学的好奇心，体验“空间与图形”学习的乐趣，不断激发潜在的创造力，逐步形成创新意识。和传统教材相比，平移和旋转显然属于新增加的内容，而对称也不再局限于对“轴对称图形”和“对称轴”的认识，并且对相关知识的理解角度也有一些新的变化。因此，我们有必要对这部分内容进行一些更为深入的分析和思考，以提高教学效益、全面达成教学目标。

一、概念溯源

作为《数学课程标准（实验稿）》规定的四个内容领域之一，“空间与图形”主要研究现实世界中物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换。那么，什么是变换？小学数学中所涉及的基本变换哪些？各种不同变换的数学内涵是什么？它们之间又存在怎样的关系？

1.       变换、保距变换、保角变换。

通常，几何学家是按照集合的法则，通过在原图形的点与新图形（称为映象）的点之间建立一种对应关系来描述有关变换的概念的。如果一个平面图形的每一个点只对应于它在此平面内的映象中的一个点，并且映象中的每一个点也只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。能够保持图形的大小和形状不变的变换称为保距变换。在保距变换中，一个图形的映象中的任何两点之间的距离，等于原图形中对应的两点之间的距离，映象总是全等于原图形。保距变换主要有三种：平移变换、旋转变换和轴对称变换。

而只改变图形的大小，不改变图形的形状的变换称为保角变换。在保角变换中，原图形中所有角的大小都保持不变。得到一个图形的相似图形的过程本质上就是保角变换的应用。

2．平移变换、旋转变换和轴对称变换。

平移变换是最简单的保距变换。如果原图形中的点都沿着平行的途径运动一个恒等的距离而到达映象，这样的变换称为平移。对平移来说，原图形中所有的点到它的映象的距离彼此相等。距离和方向是平移的两个要件。

旋转变换是第二种保距变换。如果原图形中的点都绕着一个固定的中心点转动一个恒等的角度，这样的变换称为旋转。对于旋转来说，原图形中所有的点和它们的映象与旋转中心连接而成的角，大小是相等的。旋转中心、旋转角度、旋转方向是旋转的三个要件。

轴对称变换是第三种保距变换。如果在一张纸上画一个图形，把一面平面镜的末端放在纸上，并且在镜子里看到这个图形，那么原图形就被反射了。由反射产生一个图形的映象的过程，也叫轴对称变换。反射由一条反射线所确定，反射线也叫对称轴。反射线是连接图形中的任意一点与该点映象这间的所有线段的垂直平分线。

轴对称图形，也可以用反射来定义。如果一个图形的一部分被某一条直线反射后，得到的映象恰好等同于原图形的其余部分，这个图形即被称为轴对称图形。该直线叫做对称轴。

二、教材剖析

根据《数学课程标准（实验稿）》的要求，结合学生认知发展的实际，苏教版课程标准小学数学实验教材分两段安排平移、旋转和轴对称图形的学习。第一段，安排在三年级（下册），分两个单元学习“平移和旋转”以及“轴对称图形”。重点让学生感受生活中的平移、旋转和对称现象，初步认识轴对称图形的基本特征，学习在方格纸把一个图形进行水平或竖直方向的平移。第二段，安排在四年级（下册），结合已经认识的一些平面图形，进一步认识轴对称图形的对称轴，学习画一个轴对称图形的对称轴，学习在方格纸上设计简单的轴对称图形；进一步认识图形的平移和旋转，学习综合运用沿水平方向和竖直方向平移图形的方法，在方格纸上把一个图形平移到指定位置，学习在方格纸上把简单图形旋转90°。考虑到学生的实际接受水平，教材没有安排让学生在方格纸画出一个图形的轴对称图形，只是让学生在方格纸上画出一个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。

在本册教材的“平移和旋转”单元，教材又分三个层次设计学习活动。第一个层次，引导学生观察一些熟悉的物体的运动，联系实际生活经验，结合想像，初步认识生活中的平移和旋转现象；第二层次，通过观察和分析，引导学生初步认识平面图形的平移，知道确定平移的两个要件是方向和距离；第三个层次，鼓励学生应用对平移的初步认识，尝试着在方格纸上把一个图形沿水平或竖直方向平移。本单元的最后，安排了实践活动“美丽的花边”，让学生在欣赏图案和简单设计的活动中，进一步体会平移的特征，培养动手能力和创新意识。

在本册教材的“轴对称图形”单元，教材安排了两道例题。第一道例题，先让学生观察一些典型物体的图片，初步认识生活中的对称现象；接着把上述图片分别抽象成平面图形，并通过折一折的操作引出对称轴和轴对称图形的概念。第二道例题，启发学生用“剪”“拉”“印”等不同方法“做”出一个轴对称图形，在动手操作中更加充分地感受轴对称图形的基本特征。“想想做做”提供了丰富的学习素材，像不同国家的国旗图案、各种交通标志，以及自然界中动植物的图片、世界上一些著名建筑的图片等，让学生在“找”轴对称图形的过程中，进一步丰富对轴对称图形的认识，并拓宽知识视野，受到美的熏陶。本单元的最后，也安排了一次实践活动“奇妙的剪纸”，在让学生运用知识的过程中，进一步加深体会，并培养他们对民族、对人民的美好情感，激发他们欣赏美、创造美的热情。

三、教学探微

1．要从生活中选取较为典型的平移和旋转的例子让学生感知。

生活中有许多物体的运动可以看作平移或旋转。事实上，正是由于学生在生活中或多或少地接触过平移或旋转的现象，他们认识图形的平移或旋转才有了可靠的基础。但另一方面，生活中的平移或旋转现象，并不是数学意义上的平移或旋转。特别是，当我们选来用作学生观察的例子不够典型时，就有可能产生歧义甚至误导。曾经有一位教师在观摩教学中，用做健美操时向前走几步，向后走几步来作为平移的例子。笔者以为，这样的例子不仅无助于学生理解图形的平移，甚至还会造成认识上的混乱，并给学生正确把握概念的本质造成障碍。所以，我们提供给学生观察的平移或旋转的例子应尽可能接近有关数学概念的本质。至少，不能把错误的东西教给学生。

此外，在观察生活中的平移或旋转现象时，要引导学生着眼于整体，不要被一些细节所纠缠。如火车在一段平直的轨道上行进的过程，可以看作是平移。但如果考虑到车轮的滚动，整个火车的运动就不那么简单了。为了避免学生误解，教学时可以提醒学生关注事物的整体，忽略一些无关紧要的细节，也可以强调指出：火车车身的运动可以看作平移。

2．要具体指导在方格纸上把一个图形进行平移的方法。

在方格纸上平移图形时，平移的方向比较容易判断，但平移的距离却常常容易出错，而且学生画出的平移后的图形也常常不能与原图形全等。怎样突破这一教学难点？指导具体的平移方法是关键。第一，选点。也就是在原图形上选择几个能决定图形形状和大小的点，如三角形的三个顶点。第二，移点。也就是按要求把选择的点向规定的方向平移规定的格数。第三，连点成形。

上述三个步骤既便于学生理解操作，又与平移变换的本质特征相一致。但教学时，应启发学生先主动尝试，在积累了一些操作经验后，再逐步归纳出操作的步骤和要领。

3．在从一组平面图形或图案中选择轴对称图形时，要经常让学生对自己的选择作出解释或验证。

直观判断是学生从一组平面图形或图案中选择轴对称图形的主要方法。正因为如此，这种选择的结果有时并不完全可靠。另一方面，解释或验证的过程有利于学生从不同角度体会轴对称图形的特征，也有利于把学生的思维逐步引向深入。为了便于随时要求学生解释验证，教学前要做好充分的准备。如，把一些容易引起争议的图形或图案先画在纸上，再剪下来。更重要的是，还应指导学生合乎逻辑地表述验证的过程，以感受数学方法内在的严谨性。如，当学生作出“这个平行四边形不是轴对称图形”的判断时，要启发学生认识到，不能以一次对折操作的结果作为验证判断的依据，而要多进行几次不同的对折操作，在多次操作的基础上作出结论。

4．要鼓励学生利用已有的知识经验，自主探索在方格纸上画轴对称图形的方法。

在方格纸上画出一个图形的另一半，并使之成为一个轴对称图形，对学生来说，是一个相对较难的操作。难就难在：第一，学生无法利用对折操作来确定另一半图形；第二，学生也无法依据对称轴的数学特性进行合科逻辑的思考。但从另一方面来看，由于学生已有了一些在方格纸上平移图形的经验，加之利用实物“做”轴对称图形，以及从一组图形或图案中选择轴对称图形的感性积累，自主探索解决这一问题的方法也是可能的。教学时，可以先放手让学生独立尝试解决问题，再引导学生仔细分析每一组对应的点与对称轴之间的关系，从而使学生掌握方法，并从中获得对轴对称图形的一些新的认识。