9”或者“2★9”等。静态、冰冷的乘法概念在这一刻绽放了绚丽的光芒。可以想见，这些看似不太科学、不够准确的“乘法”表达形式背后，折射出了学生多少生动、活泼的数学思考，比如观察、概括、想像、推理、优化、调整、创造，而这恰恰正是数学的“文化力量”。

再如认识“长方体的长、宽、高”，作为规定性知识，直接告知未尝不可。然而，倘若引导学生作这样的思考：如果将长方体12条棱中擦掉1条，你还能想像出这个长方体的大小吗？如果擦掉2条、3条……呢？试一试，看至少留下几条棱，才能确保想像出长方体的大小？当学生在经历尝试、探索、操作、优化等数学活动后不约而同地选择了这样三条棱（如图）时，规定性的数学常识“长、宽、高”在这一刻被“活化”了，并被学生生动、深刻地予以建构。我以为，像这样的“头脑创造”可以还原数学概念的内在生命力量，相对于概念的授受而言，其文化价值显然更大。

2．数学规则，在充满张力的数学思考中绽放理性之美。

和数学概念一样，对数学规则的学习同样面临着一个“冰冷美丽”和“火热思考”之间的抉择和转换。处理不当，规则学习会诱导学生陷入机械记忆、单纯模仿、反复操练的窠臼。如何将学生置身于规则发生、发展、形成的生动过程，引导他们亲历观察、猜想、验证、建模、应用等数学活动，进而获得一种更有力度、充满张力的数学思考以及触及心灵的精神愉悦，这是我在课堂教学中一直关注并努力实践的问题。

比如教学“笔算两位数加两位数（进位加）”时，“从个位加起，满十进一”是绕不开的计算规则。在成人看来，“从个位加起”应是一件再自然不过的事，但学生究竟会如何理解、建构这一规则呢？教学时，我放手让学生自己探索24＋18的笔算方法，没想到，竟有不少学生选择了从十位加起（事实上，要合并两堆小棒，我们通常不也是先数数一共有多少捆，然后再将零散的小棒满十根一捆，最后得出结果的吗），过程如下：

24＋18=42

面对这一状况，草率地否定这一思考显然不够理智，急于纠正更显得缺乏智慧，还是让他们自己在比较中去发现、去感悟吧。结果，正是这样一份理解和从容，不但让他们在两种不同计算规则的比较中深化了对“从个位加起”的合理性认知，同时也让大家深刻地感受到了计算规则丰富和确定的辩证统一，体验到了规则生成过程中丰富的数学思考。

此外，“满十进一”也是数学中重要的规则之一。教学时，我没有仅仅停留于“告诉”，而是在学生认识“十进制”后，进一步拓展他们的视野，给他们介绍了关于五进制、七进制、十二进制的知识，并引导他们思考诸如“不同的进制之间有什么共同的地方”、“十进制之所以被广泛应用，可能的原因是什么”、“如果将十进制改为七进制，对已有的数会产生怎样的影响”等问题。或许这样的思考对于学生巩固或强化十进制并无太大帮助，然而正是有了这样的适度开掘，学生的视野开阔了，尤其是，数学发展过程的多元化，数学思考的多样性，数学发展过程中所展现出的无穷智慧等，渐渐沉积为学生的内在涵养，成为一种文化积淀。

3．方法、策略和思想的有效渗透与主题实践。

离开学校后，真正能留存于个体脑海中的具体数学知识、技能往往很少，但数学方法、策略、思想却常常以更为内敛、潜在的方式沉积于学生内心深处，成为他们进行数学思考的重要支撑。这是数学文化价值集中体现的又一重要方面。

较之于知识、技能而言，方法、思想和策略更为内隐，常潜伏于许多看似普通的数学知识、数学技能的学习过程中，需要教师敏锐地予以捕捉、判断、放大、外化，并在课堂中予以传递。

如教学“认识分数”时，面对如下问题“在括号里填上合适的分数”（见下图），我有意将后两幅图中的等分线隐去，使这一内容诱导出了更多的数学内涵。

其中有估计意识的培养（估计后两幅图中涂色部分占整体的几分之一）、有思维策略的综合应用（对第三幅图的估计）、有极限思想的渗透（引导学生想象并感受：如果继续往下平均分，份数越多，表示每一份的分数会怎样）等。朴素的内容完全可以承载丰厚的数学内涵，每一堂课，我们都可以作出这样的思考。

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