两年后，当正式学到“角的认识”这一内容时，芮明昊跑来告诉我：“张老师，我现在才明白，五角星上其实不止有五个角，应该有十个才对，因为那里边还有五个向外张开的钝角呢，对吗？”我朝他笑了笑，“或许吧。”

转眼又到了六年级，或许是接触了更多有关平面图形方面的知识，他又一次找到了我。“张老师，这回我终于明白了，科学地讲，五角星上共有无数个角。因为，在它里面还有许多大于180度或360度的角，而这些角我们以前并没有去关注过。”

说真的，我当时只有一种强烈的感触，那就是：为何在当初，面对一年级孩子这样一个虽不准确、但很了不起的发现，我连肯定的勇气都没有。仅仅是为了捍卫数学学科准确、科学的尊严吗？

［思考］

当数学在人们的认识中逐渐从静态走向动态、从确定走向变化、从精确走向易谬时，数学科学的神圣光环已逐渐褪去。数学与其说像一个神坛上走下的圣人，毋宁说更象一个平易近人的凡夫俗子。数学从某种意义上讲，她已不再是一成不变的真理的集合和化身，相反，她更像是一个不断发展、不断进化、不断更新着的运动体。既是如此，那我们又有什么理由要求那些刚刚接触数学的儿童，能一步到位地完成对于数学知识的精确建构？我们又有什么理由拒绝数学的模糊性和直觉性？

“五角星共有五个角”，这对于一个一年级的孩子而言，它究竟何错之有？换言之，就算是这一表述不够科学，但那只是我们从成人数学的视角所作出的判断，对于一年级的孩子，尚没有对钝角、周角等有更多的了解，作出这一判断恰恰反映了他的认识水平。对他们而言，或许这才是一种真正的“准确”。如果说这是一种对孩子的迁就，那千万别以为这样的迁就会误了我们的孩子。恰恰相反，孩子的数学发展本身就是一个螺旋上升的渐进过程。从模糊走向清晰、从混沌走向有序理应成为儿童数学发展的必由之路。上述案例中孩子对于角的认识恰恰充分说明了这一点。

其实，又何止“认识角”如此，数学教育中这样的现象无处不在。只有当我们能真正从发展、变化的眼光来看待数学、看待数学教育、看待孩子们的数学成长，我们的数学教育也才能真正促进学生健康、持续地发展。

四
童年的数学应该充盈着一种游戏化的精神。孩子们沉浸其中而留连忘返，忘我地体验着、感悟着、创造着。而数学正如春风化雨般悄悄地滋润着孩子们精神的家园。

［案例］“由布丰投针实验想到的”

数学活动课上，我正引导孩子们以小组为单位一起进行着数学史上著名的“布丰投针实验”：画一组间距均为1厘米的平行线；准备一些长度为1/2厘米的小棒；将这些小棒自然地扔在平行线上；数一数多少根小棒与平行线相交、多少根小棒没有和平行线相交；算出这两个数据的比值。当结果出来的那一刹那，或许他们怎么也不能相信，摆在每一组孩子面前的实验结果竟是如此惊人地相似：比3大一些，有些甚至接近于3.14。“这不正是π的近似值吗？”“难道这只是一种巧合？”孩子们纷纷议论开去。“大家是不是觉得这里面大有文章可作？如果再给你们一些时间，大家最想做的事情是什么？”就这样，讨论声、交流声再度此起彼伏。有人说，“如果小棒数再多一些，情况又会怎样？”有人说，“是不是小棒的数目越多，最后的比值也越接近于圆周率π？”也有人说，“如果小棒的长度不是平行线间距的一半，而是和间距等长，最后的结果又会如何，会不会是2π？”更有人说，“如果我们将等间距的平行线改为等距的同心圆，其他条件不变，最后又将出现怎样的结果呢？”

不难想见，在这样一种蓄势以待的求知状态下，孩子们的眼神中闪烁着怎样的一份渴望探索的目光。于是，接下来的整整两节课时间，孩子们沉浸其中，全然忘却了一次次响起的铃声、忘却了窗外孩子们嬉戏追逐的身影……

［思考］

一项工作完成的效率之高低或质量之好坏，很大程度上取决于当事人对于这项工作的投入程度。游离于其外，自然就事倍而功半；沉浸于其中，无疑是事半而功倍。工作如此，教育同样也不例外。令人遗憾的是，我们的数学教育缺少的恰恰是这样一种令人“沉迷”其中的教育魅力。